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$\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x}$ の極限値を求める。

解析学極限ロピタルの定理対数関数
2025/5/31

1. 問題の内容

lim⁡x→∞(1+x)1/x\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x} の極限値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた極限を LL とおく。
L=lim⁡x→∞(1+x)1/xL = \lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x}
両辺の自然対数をとると、
ln⁡L=ln⁡(lim⁡x→∞(1+x)1/x)\ln L = \ln (\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x})
ln⁡L=lim⁡x→∞ln⁡(1+x)1/x\ln L = \lim_{x \to \infty} \ln (1+x)^{1/x}
ln⁡L=lim⁡x→∞1xln⁡(1+x)\ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln(1+x)
ln⁡L=lim⁡x→∞ln⁡(1+x)x\ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x)}{x}
この極限は ∞∞\frac{\infty}{\infty} の不定形なので、ロピタルの定理を用いることができる。
ln⁡L=lim⁡x→∞11+x1\ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1}
ln⁡L=lim⁡x→∞11+x\ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+x}
x→∞x \to \infty のとき 1+x→∞1+x \to \infty であるから、
ln⁡L=0\ln L = 0
両辺の指数関数をとると、
eln⁡L=e0e^{\ln L} = e^0
L=1L = 1

3. 最終的な答え

lim⁡x→∞(1+x)1/x=1\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x} = 1

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## 1. 問題の内容

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