与えられた不等式 $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \dots > \sqrt[n]{n} > \dots$ を証明すること。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \dots > \sqrt[n]{n} > \dots$ を証明すること。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = \sqrt[x]{x} = x^{\frac{1}{x}}$ を考える。この関数が、$x \geq 3$ で減少関数であることを示すことで、不等式を証明する。

関数 $f(x)$ の対数を取る：

$g(x) = \ln(f(x)) = \ln(x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x}\ln(x) = \frac{\ln(x)}{x}$.

$g(x)$ の導関数を計算する：

$g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.

$x \geq 3$ のとき、$x > e$ であるから、$\ln(x) > 1$ が成り立つ。したがって、$1 - \ln(x) < 0$ である。

また、$x^2 > 0$ であるから、$g'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} < 0$ となる。

$g'(x) < 0$ であることは、$g(x)$ が減少関数であることを意味する。したがって、$f(x) = e^{g(x)}$ も減少関数となる。

したがって、$x \geq 3$ において、$f(x) = \sqrt[x]{x}$ は減少関数である。これは、$\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \dots > \sqrt[n]{n} > \dots$ が成り立つことを意味する。

3. 最終的な答え

$\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \dots > \sqrt[n]{n} > \dots$