定積分 $\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。$\log(x^2 + 1)$ を $u$、$1$ を $v'$ とおきます。すると、$u' = \frac{2x}{x^2+1}$、$v = x$ となります。部分積分の公式

$$\int u v' dx = u v - \int u' v dx$$

を用いると、

$$\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) dx = \left[ x \log(x^2 + 1) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2 + 1} dx$$

となります。第一項は $\left[ x \log(x^2 + 1) \right]_{0}^{1} = 1 \cdot \log(1^2 + 1) - 0 \cdot \log(0^2 + 1) = \log 2$ です。

第二項の積分は、被積分関数を

$$\frac{2x^2}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = 2 - \frac{2}{x^2 + 1}$$

と変形することで計算できます。したがって、

$$\int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2 + 1} dx = \int_{0}^{1} \left( 2 - \frac{2}{x^2 + 1} \right) dx = \left[ 2x - 2 \arctan x \right]_{0}^{1} = 2 - 2 \arctan 1 - (0 - 2 \arctan 0) = 2 - 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 2 - \frac{\pi}{2}$$

よって、

$$\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) dx = \log 2 - \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

$\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$