$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ ($\alpha > 0$) を求める。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ ($\alpha > 0$) を求める。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \int x^{-\alpha} dx$

$\alpha \neq 1$ のとき、

$\int x^{-\alpha} dx = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} + C = \frac{x^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} + C$

したがって、定積分は

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \left[ \frac{x^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} - \lim_{x \to 0} \frac{x^{1 - \alpha}}{1 - \alpha}$

$= \frac{1}{1 - \alpha} - \lim_{x \to 0} \frac{x^{1 - \alpha}}{1 - \alpha}$

ここで、積分が収束するためには、$\lim_{x \to 0} x^{1 - \alpha} = 0$ である必要があります。これは、$1 - \alpha > 0$、つまり $\alpha < 1$ のときに成り立ちます。

$\alpha < 1$ のとき、$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \frac{1}{1 - \alpha}$

$\alpha \ge 1$ のとき、積分は発散します。なぜなら、$\alpha = 1$ の場合は $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x|$ であり、 $\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$ なので発散します。$\alpha > 1$ の場合は $1-\alpha < 0$ なので$\lim_{x \to 0} x^{1 - \alpha}$は発散します。

3. 最終的な答え

$\alpha < 1$ のとき、$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \frac{1}{1 - \alpha}$

$\alpha \ge 1$ のとき、発散