微分方程式 $\frac{dy}{dx} = -\frac{4x+2y}{2x+y-1}$ を、$2x+y = u$ とおく変数変換を用いて解き、初期条件 $y(0) = 3$ を満たす特殊解を求めます。

1. 問題の内容

微分方程式 $\frac{dy}{dx} = -\frac{4x+2y}{2x+y-1}$ を、$2x+y = u$ とおく変数変換を用いて解き、初期条件 $y(0) = 3$ を満たす特殊解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$2x+y = u$ とおくと、$y = u - 2x$ となります。これを $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 2$

となります。

与えられた微分方程式に代入すると、

$\frac{du}{dx} - 2 = -\frac{2(2x+y)}{2x+y-1} = -\frac{2u}{u-1}$

$\frac{du}{dx} = 2 - \frac{2u}{u-1} = \frac{2(u-1) - 2u}{u-1} = \frac{2u - 2 - 2u}{u-1} = -\frac{2}{u-1}$

変数分離を行うと、

$(u-1)du = -2dx$

両辺を積分すると、

$\int (u-1)du = \int -2dx$

$\frac{1}{2}u^2 - u = -2x + C$

$u^2 - 2u = -4x + 2C$

ここで、$u = 2x + y$ を代入すると、

$(2x+y)^2 - 2(2x+y) = -4x + 2C$

$4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y = -4x + 2C$

$4x^2 + 4xy + y^2 - 2y = 2C$

$2C$ を改めて $C$ とおくと、

$4x^2 + 4xy + y^2 - 2y = C$

初期条件 $y(0) = 3$ を代入すると、

$4(0)^2 + 4(0)(3) + (3)^2 - 2(3) = C$

$0 + 0 + 9 - 6 = C$

$C = 3$

したがって、求める特殊解は

$4x^2 + 4xy + y^2 - 2y = 3$

3. 最終的な答え

$4x^2 + 4xy + y^2 - 2y = 3$