与えられた極限を計算する問題です。具体的には、以下の2つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{2\sqrt{1+x}-2-x}{x^2}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)x}{x-\sin x}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。具体的には、以下の2つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{2\sqrt{1+x}-2-x}{x^2}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)x}{x-\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) の極限の解き方：

まず、$\sqrt{1+x}$を$x=0$の周りでTaylor展開します。

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + O(x^3)$

これを用いると、

$2\sqrt{1+x} = 2 + x - \frac{1}{4}x^2 + O(x^3)$

したがって、

$2\sqrt{1+x}-2-x = -\frac{1}{4}x^2 + O(x^3)$

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{2\sqrt{1+x}-2-x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{1}{4}x^2 + O(x^3)}{x^2} = -\frac{1}{4}$

(2) の極限の解き方：

$\cos x$ と $\sin x$ を $x=0$ の周りでTaylor展開します。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$

これを用いると、

$1-\cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

$x - \sin x = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7)$

したがって、

$\frac{(1-\cos x)x}{x-\sin x} = \frac{(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6))x}{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7)} = \frac{\frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + O(x^7)}{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7)} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + O(x^4)}{\frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + O(x^4)}$

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)x}{x-\sin x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{2\sqrt{1+x}-2-x}{x^2} = -\frac{1}{4}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)x}{x-\sin x} = 3$