$\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x}$ の極限を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x}$ の極限を求めます。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、まず $y = (1+x)^{1/x}$ と置きます。

次に、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (1+x)^{1/x}$

$\ln y = \frac{1}{x} \ln (1+x)$

ここで、$x \to \infty$ のとき、$\frac{\ln (1+x)}{x}$ の極限を求めます。

これは不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、ロピタルの定理を使うことができます。

分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1+x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \ln y = 0$ となります。

$\ln y$ の極限が求まったので、$y$ の極限を求めます。

$y = e^{\ln y}$ なので、

$\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} e^{\ln y} = e^{\lim_{x \to \infty} \ln y} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x} = 1$