関数 $f(x) = xe^{-x}$ が極大となるときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-x}$ が極大となるときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が極大となるとき、$f'(x) = 0$ となり、$f''(x) < 0$ が成立します。

まず、$f(x) = xe^{-x}$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を用いると、

$$f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-x}(1-x) = 0$ より、$1-x = 0$ となり、$x = 1$ を得ます。($e^{-x}$は常に正なので、$e^{-x}=0$となることはない。)

次に、$f''(x)$ を求めます。

$$f''(x) = (e^{-x}(1-x))' = (e^{-x})'(1-x) + e^{-x}(1-x)' = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(-1+x-1) = e^{-x}(x-2)$$

$x = 1$ のとき、$f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$ となるので、$x = 1$ で極大値をとります。

3. 最終的な答え

$x=1$