問題36は、不定積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx$ の被積分関数 $\frac{1}{(x-2)(x-5)}$ を部分分数分解する問題です。 問題37は、不定積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

問題36は、不定積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx$ の被積分関数 $\frac{1}{(x-2)(x-5)}$ を部分分数分解する問題です。

問題37は、不定積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

問題36：

$\frac{1}{(x-2)(x-5)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-5}$ とおきます。

両辺に $(x-2)(x-5)$ を掛けると、

$1 = A(x-5) + B(x-2)$

$1 = (A+B)x + (-5A-2B)$

係数比較より、

$A+B = 0$

$-5A-2B = 1$

上の式から $B = -A$ を得ます。

下の式に代入すると、 $-5A + 2A = 1$ より、 $-3A = 1$ なので、$A = -\frac{1}{3}$。

したがって、$B = \frac{1}{3}$。

よって、$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x-5)} = \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-5}\right)$

問題37：

$\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx$ を計算します。

問題36の結果より、

$\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx = \int \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-5}\right) dx$

$= \frac{1}{3} \int \left(-\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-5}\right) dx$

$= \frac{1}{3} (-\log|x-2| + \log|x-5|) + C$

$= \frac{1}{3} \log\left|\frac{x-5}{x-2}\right| + C$

3. 最終的な答え

問題36の答え：$\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-5}\right)$

問題37の答え：$\frac{1}{3} \log\left|\frac{x-5}{x-2}\right|$