## 問題2

## 問題2

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1. 問題の内容

次の3つの関数を微分し、できるだけ簡潔な式で表す。

(1) $y = \cos^4(4x)$

(2) $y = \frac{x}{\tan(2x)}$

(3) $y = (2x+5)\sinh(x)$

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2. 解き方の手順

(1) $y = \cos^4(4x)$ の場合：

合成関数の微分を用いる。

まず、$\cos(4x)$を$u$とおくと、$y = u^4$。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = -4\sin(4x)$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot (-4\sin(4x)) = -16\cos^3(4x)\sin(4x)$

(2) $y = \frac{x}{\tan(2x)}$ の場合：

商の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x$, $v = \tan(2x)$とすると、$u' = 1$, $v' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot \tan(2x) - x \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)}}{\tan^2(2x)} = \frac{\tan(2x) - \frac{2x}{\cos^2(2x)}}{\tan^2(2x)}$

$= \frac{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} - \frac{2x}{\cos^2(2x)}}{\frac{\sin^2(2x)}{\cos^2(2x)}} = \frac{\sin(2x)\cos(2x) - 2x}{\sin^2(2x)} = \frac{\frac{1}{2}\sin(4x) - 2x}{\sin^2(2x)} = \frac{\sin(4x) - 4x}{2\sin^2(2x)}$

(3) $y = (2x+5)\sinh(x)$ の場合：

積の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$

$u = 2x+5$, $v = \sinh(x)$とすると、$u' = 2$, $v' = \cosh(x)$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2\sinh(x) + (2x+5)\cosh(x)$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -16\cos^3(4x)\sin(4x)$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(4x) - 4x}{2\sin^2(2x)}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2\sinh(x) + (2x+5)\cosh(x)$

## 問題3

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1. 問題の内容

関数 $y = e^{2x}\sin(3x)$ が $y' + ay = be^{2x}\cos(3x)$ を満たすように、定数 $a, b$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$ を求める。積の微分法を用いる。

$y = e^{2x}\sin(3x)$

$y' = 2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x) = e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x))$

これを $y' + ay = be^{2x}\cos(3x)$ に代入する。

$e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x)) + a(e^{2x}\sin(3x)) = be^{2x}\cos(3x)$

$e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x) + a\sin(3x)) = be^{2x}\cos(3x)$

$2\sin(3x) + 3\cos(3x) + a\sin(3x) = b\cos(3x)$

$(2+a)\sin(3x) + 3\cos(3x) = b\cos(3x)$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、$\sin(3x)$ の係数と $\cos(3x)$ の係数がそれぞれ等しくなければならない。

$2+a = 0$

$3 = b$

したがって、$a = -2$, $b = 3$

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3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 3$