関数 $g(x) = \frac{\ln x}{x}$ について、 (1) $g(x)$ を微分せよ。 (2) 曲線 $y = g(x)$ 上の点 $(e^3, g(e^3))$ における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = \frac{\ln x}{x}$ について、

(1) $g(x)$ を微分せよ。

(2) 曲線 $y = g(x)$ 上の点 $(e^3, g(e^3))$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $g(x)$ の微分を求める。商の微分公式を用いる。

$g'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

(2) 点 $(e^3, g(e^3))$ における接線の方程式を求める。

まず、$g(e^3)$ を求める。

$g(e^3) = \frac{\ln e^3}{e^3} = \frac{3}{e^3}$

次に、$g'(e^3)$ を求める。

$g'(e^3) = \frac{1 - \ln e^3}{(e^3)^2} = \frac{1 - 3}{e^6} = \frac{-2}{e^6}$

接線の方程式は、$y - g(e^3) = g'(e^3) (x - e^3)$ で与えられる。

$y - \frac{3}{e^3} = \frac{-2}{e^6} (x - e^3)$

$y = \frac{-2}{e^6} x + \frac{2e^3}{e^6} + \frac{3}{e^3} = \frac{-2}{e^6} x + \frac{2}{e^3} + \frac{3}{e^3} = \frac{-2}{e^6} x + \frac{5}{e^3}$

3. 最終的な答え

(1) $g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

(2) $y = -\frac{2}{e^6}x + \frac{5}{e^3}$