次の3つの関数とその逆関数のグラフを描く問題です。各関数には定義域が指定されています。 (1) $y = \sin x \quad (-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2})$ (2) $y = \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$ (3) $y = \tan x \quad (-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$

1. 問題の内容

次の3つの関数とその逆関数のグラフを描く問題です。各関数には定義域が指定されています。

(1) $y = \sin x \quad (-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2})$

(2) $y = \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$

(3) $y = \tan x \quad (-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$

2. 解き方の手順

関数のグラフとその逆関数のグラフは、$y=x$ に関して対称になります。

したがって、まずは元の関数のグラフを描き、それを$y=x$に関して反転させれば逆関数のグラフが得られます。

(1) $y = \sin x \quad (-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2})$

この関数の逆関数は $y = \arcsin x$ または $y = \sin^{-1} x$ であり、定義域は $-1 \le x \le 1$、値域は $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$です。

$\sin x$ のグラフを$y=x$に関して反転させたものが $\arcsin x$ のグラフになります。

(2) $y = \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$

この関数の逆関数は $y = \arccos x$ または $y = \cos^{-1} x$ であり、定義域は $-1 \le x \le 1$、値域は $0 \le y \le \pi$です。

$\cos x$ のグラフを$y=x$に関して反転させたものが $\arccos x$ のグラフになります。

(3) $y = \tan x \quad (-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$

この関数の逆関数は $y = \arctan x$ または $y = \tan^{-1} x$ であり、定義域は $-\infty < x < \infty$、値域は $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$です。

$\tan x$ のグラフを$y=x$に関して反転させたものが $\arctan x$ のグラフになります。

グラフは省略します。グラフ用紙にそれぞれの関数とその逆関数、$y=x$ のグラフを描いて確認してください。

3. 最終的な答え

各関数のグラフは、教科書や参考書を参照してください。それぞれの逆関数は以下です。

(1) $y = \arcsin x$

(2) $y = \arccos x$

(3) $y = \arctan x$