与えられた関数の定義域と値域を求め、表の空欄を埋める問題です。関数は2つあります。 (1) $f(x) = \log_2 x$ (2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$

1. 問題の内容

与えられた関数の定義域と値域を求め、表の空欄を埋める問題です。関数は2つあります。

(1) $f(x) = \log_2 x$

(2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log_2 x$ について、表の各 $x$ の値に対して $f(x)$ の値を計算します。

ただし、$\log$ の定義より、$x>0$ である必要があります。したがって、$x=0$ は定義域に含まれません。

* $x = \frac{1}{4}$ のとき: $f(x) = \log_2 \frac{1}{4} = \log_2 2^{-2} = -2$

* $x = \frac{1}{2}$ のとき: $f(x) = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$

* $x = 1$ のとき: $f(x) = \log_2 1 = 0$

* $x = 2$ のとき: $f(x) = \log_2 2 = 1$

* $x = 4$ のとき: $f(x) = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

(2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ について、表の各 $x$ の値に対して $f(x)$ の値を計算します。

同様に、$x>0$ である必要があります。したがって、$x=0$ は定義域に含まれません。

* $x = \frac{1}{4}$ のとき: $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^2 = 2$

* $x = \frac{1}{2}$ のとき: $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$

* $x = 1$ のとき: $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$

* $x = 2$ のとき: $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-1} = -1$

* $x = 4$ のとき: $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-2} = -2$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \log_2 x$

| x | 0 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 |

|-------|------|------|------|------|------|------|

| f(x) | 定義されない | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |

(2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$

| x | 0 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 |

|-------|------|------|------|------|------|------|

| f(x) | 定義されない | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |