$x^2 + (y-2)^2 = 1$ を $x$軸を軸として1回転させた立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

$x^2 + (y-2)^2 = 1$ を $x$軸を軸として1回転させた立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 + (y-2)^2 = 1$ は、中心が $(0, 2)$、半径が1の円を表します。この円を $x$ 軸周りに回転させた立体の体積を求めるには、回転体の体積の公式を使います。

円の方程式を $y$ について解きます。

$(y-2)^2 = 1 - x^2$

$y - 2 = \pm \sqrt{1-x^2}$

$y = 2 \pm \sqrt{1-x^2}$

$y_1 = 2 + \sqrt{1-x^2}$

$y_2 = 2 - \sqrt{1-x^2}$

$x$ の範囲は $-1 \leq x \leq 1$ です。

回転体の体積 $V$ は、

$V = \pi \int_{-1}^{1} (y_1^2 - y_2^2) dx$

$V = \pi \int_{-1}^{1} ((2 + \sqrt{1-x^2})^2 - (2 - \sqrt{1-x^2})^2) dx$

$V = \pi \int_{-1}^{1} (4 + 4\sqrt{1-x^2} + 1 - x^2 - (4 - 4\sqrt{1-x^2} + 1 - x^2)) dx$

$V = \pi \int_{-1}^{1} (8\sqrt{1-x^2}) dx$

$V = 8\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$

ここで $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ は半径1の半円の面積を表します。

したがって、$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$

$V = 8\pi \cdot \frac{\pi}{2} = 4\pi^2$

3. 最終的な答え

$4\pi^2$