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$\int \log_e(5+x) \, dx$ を計算します。

解析学積分部分積分対数関数
2025/5/31

1. 問題の内容

∫log⁡e(5+x) dx\int \log_e(5+x) \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って解きます。
f=log⁡e(5+x)f = \log_e(5+x)、g′=1g' = 1 とすると、f′=15+xf' = \frac{1}{5+x}、g=xg = x となります。部分積分の公式は、∫fg′ dx=fg−∫f′g dx\int f g' \, dx = fg - \int f' g \, dx です。
したがって、
∫log⁡e(5+x) dx=xlog⁡e(5+x)−∫x5+x dx\int \log_e(5+x) \, dx = x \log_e(5+x) - \int \frac{x}{5+x} \, dx
ここで、∫x5+x dx\int \frac{x}{5+x} \, dx を計算します。
x5+x=x+5−55+x=5+x5+x−55+x=1−55+x\frac{x}{5+x} = \frac{x+5-5}{5+x} = \frac{5+x}{5+x} - \frac{5}{5+x} = 1 - \frac{5}{5+x}
したがって、
∫x5+x dx=∫(1−55+x) dx=x−5∫15+x dx=x−5log⁡e(5+x)+C\int \frac{x}{5+x} \, dx = \int \left(1 - \frac{5}{5+x}\right) \, dx = x - 5\int \frac{1}{5+x} \, dx = x - 5 \log_e(5+x) + C
よって、
∫log⁡e(5+x) dx=xlog⁡e(5+x)−(x−5log⁡e(5+x))+C=xlog⁡e(5+x)−x+5log⁡e(5+x)+C=(x+5)log⁡e(5+x)−x+C\int \log_e(5+x) \, dx = x \log_e(5+x) - (x - 5 \log_e(5+x)) + C = x \log_e(5+x) - x + 5 \log_e(5+x) + C = (x+5) \log_e(5+x) - x + C

3. 最終的な答え

(x+5)log⁡e(5+x)−x+C(x+5) \log_e(5+x) - x + C

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