問題は2つの部分に分かれています。 最初の部分は微分方程式 $y'(x) = -3(y(x) - 7)$ と初期条件 $y(0) = 0$ に関する問題です。解 $y(x)$ を求め、その漸近線を求め、さらに $y(x) = 6$ となる $x$ の値を求めます。 2番目の部分は、放射性物質の崩壊に関する問題で、質量 $x(t)$ が微分方程式 $\frac{dx}{dt} = -kx$ に従うとき、半減期 $T$ を求め、与えられた条件を満たす $T_1$ と $T_2$ について、比 $\frac{T_1}{T}$ と $\frac{T_2}{T}$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

最初の部分は微分方程式 $y'(x) = -3(y(x) - 7)$ と初期条件 $y(0) = 0$ に関する問題です。解 $y(x)$ を求め、その漸近線を求め、さらに $y(x) = 6$ となる $x$ の値を求めます。

2番目の部分は、放射性物質の崩壊に関する問題で、質量 $x(t)$ が微分方程式 $\frac{dx}{dt} = -kx$ に従うとき、半減期 $T$ を求め、与えられた条件を満たす $T_1$ と $T_2$ について、比 $\frac{T_1}{T}$ と $\frac{T_2}{T}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式 $y'(x) = -3(y(x) - 7)$ を解きます。変数分離をすると、$\frac{dy}{y-7} = -3dx$ となり、積分すると $\ln|y-7| = -3x + C$ となります。したがって、$y - 7 = Ae^{-3x}$ となり、$y(x) = 7 + Ae^{-3x}$ となります。初期条件 $y(0) = 0$ より、$0 = 7 + A$ なので、$A = -7$ となります。よって、$y(x) = 7 - 7e^{-3x} = 7(1 - e^{-3x})$ となります。よって、空欄1は7、空欄2は3です。

(2) 曲線 $y = y(x) = 7(1 - e^{-3x})$ の漸近線を求めます。$x \to \infty$ のとき、$e^{-3x} \to 0$ となるので、$y \to 7$ となります。よって、漸近線は $y = 7$ です。したがって、空欄3は7です。

(3) $y(x) = 6$ となる $x$ を求めます。$6 = 7(1 - e^{-3x})$ より、$\frac{6}{7} = 1 - e^{-3x}$ なので、$e^{-3x} = 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$ となります。$-3x = \ln(\frac{1}{7}) = -\ln(7)$ となるので、$x = \frac{1}{3}\ln(7)$ となります。したがって、空欄4は1、空欄5は3です。

(4) 微分方程式 $\frac{dx}{dt} = -kx$ を解きます。変数分離をすると、$\frac{dx}{x} = -k dt$ となり、積分すると $\ln|x| = -kt + C$ となります。したがって、$x(t) = Ae^{-kt}$ となります。$x(0) = A$ なので、$x(t) = x(0)e^{-kt}$ となります。半減期 $T$ は $x(T) = \frac{1}{2}x(0)$ を満たすので、$\frac{1}{2}x(0) = x(0)e^{-kT}$ となります。したがって、$\frac{1}{2} = e^{-kT}$ となり、$-kT = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln(2)$ となります。よって、$T = \frac{\ln 2}{k}$ です。したがって、空欄6は2です。

(5) $\frac{x(T_1)}{x(0)} = \frac{1}{8}$ を満たす $T_1$ に対して、$\frac{x(T_1)}{x(0)} = e^{-kT_1} = \frac{1}{8}$ となります。$-kT_1 = \ln(\frac{1}{8}) = -3\ln 2$ となるので、$T_1 = \frac{3\ln 2}{k} = 3T$ となります。したがって、$\frac{T_1}{T} = 3$ です。したがって、空欄7は3です。

(6) $\frac{x(T_2)}{x(0)} = \frac{1}{64\sqrt{2}}$ を満たす $T_2$ に対して、$\frac{x(T_2)}{x(0)} = e^{-kT_2} = \frac{1}{64\sqrt{2}} = \frac{1}{2^6 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{13/2}}$ となります。$-kT_2 = \ln(\frac{1}{2^{13/2}}) = -\frac{13}{2}\ln 2$ となるので、$T_2 = \frac{13\ln 2}{2k} = \frac{13}{2}T$ となります。したがって、$\frac{T_2}{T} = \frac{13}{2} = \frac{89}{10}$ です。したがって、空欄8は1、空欄9は3、空欄10は2です。

3. 最終的な答え

1: 7

2: 3

3: 7

4: 1

5: 3

6: 2

7: 3

8: 1

9: 3

10: 2