## 問題

## 問題

この画像には3つの問題があります。それぞれ解きます。

問題4：$\int \frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)} dx$

問題5：$\int \frac{1}{(2x+1)^2} dx$

問題6：$\sum_{k=1}^{n} \frac{3+2k}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$

## 解き方の手順

### 問題4

この積分は、部分分数分解を用いるのが一般的です。まず、被積分関数を以下のように分解します。

$\frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}$

両辺に $(ax+b)(cx+d)$ をかけると、

$px+q = A(cx+d) + B(ax+b)$

この式が恒等式となるように $A$ と $B$ を決定します。$x$ についての係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$p = Ac + Ba$

$q = Ad + Bb$

この連立方程式を解いて $A$ と $B$ を求めます。求めた $A$ と $B$ を用いて、積分は以下のように計算できます。

$\int \frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)} dx = \int \frac{A}{ax+b} dx + \int \frac{B}{cx+d} dx$

$= \frac{A}{a} \ln|ax+b| + \frac{B}{c} \ln|cx+d| + C$

### 問題5

この積分は置換積分を用いると簡単になります。$u = 2x+1$ と置くと、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ です。したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{1}{(2x+1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$

$= \frac{1}{2} \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C$

元の変数に戻すと、

$-\frac{1}{2(2x+1)} + C = -\frac{1}{4x+2} + C$

### 問題6

この和は、部分分数分解を用いて計算できます。まず、和の項を以下のように分解します。

$\frac{3+2k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2} + \frac{D}{k+3}$

両辺に $k(k+1)(k+2)(k+3)$ をかけると、

$3+2k = A(k+1)(k+2)(k+3) + B(k)(k+2)(k+3) + C(k)(k+1)(k+3) + D(k)(k+1)(k+2)$

この式が恒等式となるように $A, B, C, D$ を決定します。

- $k = 0$ を代入すると、$3 = A(1)(2)(3) \Rightarrow A = \frac{1}{2}$

- $k = -1$ を代入すると、$1 = B(-1)(1)(2) \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$

- $k = -2$ を代入すると、$-1 = C(-2)(-1)(1) \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$

- $k = -3$ を代入すると、$-3 = D(-3)(-2)(-1) \Rightarrow D = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{3+2k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1/2}{k} - \frac{1/2}{k+1} - \frac{1/2}{k+2} + \frac{1/2}{k+3} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} \right)$

和を計算すると、隣り合う項が打ち消しあい、テレスコープ和となります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{3+2k}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}+ \cdots + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right]$

$= \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}- \frac{1}{2}- \frac{1}{3} \right] = \frac{1}{2} \left[\frac{5}{12} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right] = \frac{5}{24} - \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{2(n+2)}$

$= \frac{5(n+1)(n+2)-12(n+2)-12(n+1)}{24(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5n^2+15n+10-12n-24-12n-12}{24(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5n^2-9n-26}{24(n+1)(n+2)}$

## 最終的な答え

問題4：$\frac{A}{a} \ln|ax+b| + \frac{B}{c} \ln|cx+d| + C$　(ただし、$A$と$B$は $p = Ac + Ba$ および $q = Ad + Bb$ を満たす)

問題5：$-\frac{1}{4x+2} + C$

問題6：$\frac{5n^2-9n-26}{24(n+1)(n+2)}$