与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' + 4y = \sin{t}$ を初期条件 $y(0) = 0$ および $y'(0) = 0$ の下で解きます。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' + 4y = \sin{t}$ を初期条件 $y(0) = 0$ および $y'(0) = 0$ の下で解きます。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y'' + 4y = 0$ の一般解を求めます。特性方程式は $r^2 + 4 = 0$ であり、解は $r = \pm 2i$ です。したがって、同次方程式の一般解は

$y_h(t) = c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t)$

となります。ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

次に、非同次方程式 $y'' + 4y = \sin{t}$ の特殊解 $y_p(t)$ を求めます。$\sin{t}$ を強制関数に持つので、特殊解を $y_p(t) = A \cos(t) + B \sin(t)$ の形であると仮定します。

$y_p'(t) = -A \sin(t) + B \cos(t)$

$y_p''(t) = -A \cos(t) - B \sin(t)$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$(-A \cos(t) - B \sin(t)) + 4(A \cos(t) + B \sin(t)) = \sin(t)$

$(3A) \cos(t) + (3B) \sin(t) = \sin(t)$

したがって、$3A = 0$ かつ $3B = 1$ となります。つまり、$A = 0$ および $B = \frac{1}{3}$ です。

したがって、特殊解は

$y_p(t) = \frac{1}{3} \sin(t)$

となります。

一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和として与えられます。

$y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t) + \frac{1}{3} \sin(t)$

次に、初期条件 $y(0) = 0$ と $y'(0) = 0$ を用いて定数 $c_1$ と $c_2$ を求めます。

$y(0) = c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0) + \frac{1}{3} \sin(0) = c_1 = 0$

したがって、$c_1 = 0$ となります。

$y'(t) = -2c_1 \sin(2t) + 2c_2 \cos(2t) + \frac{1}{3} \cos(t)$

$y'(0) = -2c_1 \sin(0) + 2c_2 \cos(0) + \frac{1}{3} \cos(0) = 2c_2 + \frac{1}{3} = 0$

したがって、$2c_2 = -\frac{1}{3}$ となり、$c_2 = -\frac{1}{6}$ となります。

したがって、解は

$y(t) = -\frac{1}{6} \sin(2t) + \frac{1}{3} \sin(t)$

となります。

3. 最終的な答え

$y(t) = -\frac{1}{6} \sin(2t) + \frac{1}{3} \sin(t)$