$\arctan(\cot x)$ の微分を求めよ。

1. 問題の内容

$\arctan(\cot x)$ の微分を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ であることを利用します。

また、$\arctan x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ であることを利用します。

合成関数の微分法より、

$\frac{d}{dx} \arctan(\cot x) = \frac{1}{1 + (\cot x)^2} \cdot \frac{d}{dx} (\cot x)$

となります。

$\frac{d}{dx} (\cot x) = \frac{d}{dx} (\frac{\cos x}{\sin x}) = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

です。

また、$1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ なので、

$\frac{1}{1 + \cot^2 x} = \frac{1}{\csc^2 x} = \sin^2 x$

となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} \arctan(\cot x) = \sin^2 x \cdot (-\csc^2 x) = \sin^2 x \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -1$

となります。

あるいは、三角関数の性質 $\cot x = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ を用いると、

$\arctan(\cot x) = \arctan(\tan(\frac{\pi}{2} - x))$

となります。

ここで、 $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えるならば、$\arctan(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) = \frac{\pi}{2} - x$ となります。

この範囲で $\frac{d}{dx} (\frac{\pi}{2} - x) = -1$ となります。

3. 最終的な答え

-1