$a \ge 0$ とする。2つの放物線 $C_1: y = x^2$, $C_2: y = 3(x-a)^2 + a^3 - 40$ について、以下の問いに答える。 (1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) $a$ が(1)で求めた範囲を動くとき、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形の面積 $S$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a \ge 0$ とする。2つの放物線 $C_1: y = x^2$, $C_2: y = 3(x-a)^2 + a^3 - 40$ について、以下の問いに答える。

(1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $a$ が(1)で求めた範囲を動くとき、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形の面積 $S$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $C_1$ と $C_2$ の交点を求める。

$x^2 = 3(x-a)^2 + a^3 - 40$

$x^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) + a^3 - 40$

$x^2 = 3x^2 - 6ax + 3a^2 + a^3 - 40$

$0 = 2x^2 - 6ax + 3a^2 + a^3 - 40$

$2x^2 - 6ax + (3a^2 + a^3 - 40) = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を求める。

判別式 $D > 0$

$D = (-6a)^2 - 4(2)(3a^2 + a^3 - 40) > 0$

$36a^2 - 8(3a^2 + a^3 - 40) > 0$

$36a^2 - 24a^2 - 8a^3 + 320 > 0$

$-8a^3 + 12a^2 + 320 > 0$

$8a^3 - 12a^2 - 320 < 0$

$2a^3 - 3a^2 - 80 < 0$

$f(a) = 2a^3 - 3a^2 - 80$ とおく。

$f(4) = 2(4)^3 - 3(4)^2 - 80 = 128 - 48 - 80 = 0$

したがって、$f(a)$ は $(a-4)$ を因数に持つ。

$2a^3 - 3a^2 - 80 = (a-4)(2a^2 + 5a + 20)$

$2a^2 + 5a + 20$ の判別式は $5^2 - 4(2)(20) = 25 - 160 = -135 < 0$ より、$2a^2 + 5a + 20 > 0$

したがって、$f(a) < 0$ となるのは $a - 4 < 0$ のときである。

$a < 4$

条件 $a \ge 0$ より、$0 \le a < 4$

(2) 面積 $S$ を求める。

$2x^2 - 6ax + 3a^2 + a^3 - 40 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。 $(\alpha < \beta)$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{x^2 - (3(x-a)^2 + a^3 - 40)\} dx = \int_{\alpha}^{\beta} \{x^2 - (3x^2 - 6ax + 3a^2 + a^3 - 40)\} dx$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (-2x^2 + 6ax - 3a^2 - a^3 + 40) dx$

$S = -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = \frac{2}{6} (\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{3} (\beta - \alpha)^3$

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (\frac{6a}{2})^2 - 4(\frac{3a^2 + a^3 - 40}{2}) = 9a^2 - 2(3a^2 + a^3 - 40) = 9a^2 - 6a^2 - 2a^3 + 80 = -2a^3 + 3a^2 + 80$

$S = \frac{1}{3}(-2a^3 + 3a^2 + 80)^{3/2}$

$S$ を最大化するには、 $-2a^3 + 3a^2 + 80$ を最大化すればよい。

$g(a) = -2a^3 + 3a^2 + 80$

$g'(a) = -6a^2 + 6a = 6a(-a+1)$

$g'(a) = 0$ となるのは $a = 0, 1$

$0 \le a < 4$ より、$a = 0, 1$

$g(0) = 80$

$g(1) = -2 + 3 + 80 = 81$

$g(4) = -2(64) + 3(16) + 80 = -128 + 48 + 80 = 0$

$a = 1$ のとき $g(a)$ は最大値 $81$ をとる。

$S = \frac{1}{3} (81)^{3/2} = \frac{1}{3} (9^2)^{3/2} = \frac{1}{3} (9^3) = \frac{729}{3} = 243$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le a < 4$

(2) 243