関数 $y = \frac{6-3^x}{4^x-8}$ のグラフの漸近線をすべて求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{6-3^x}{4^x-8}$ のグラフの漸近線をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、垂直漸近線を調べます。

垂直漸近線は、分母が0となる $x$ の値の近くで起こります。

$4^x - 8 = 0$ を解きます。

$4^x = 8$

$(2^2)^x = 2^3$

$2^{2x} = 2^3$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

したがって、$x=\frac{3}{2}$ が垂直漸近線の候補です。

$x$ が $\frac{3}{2}$ に近づくときの極限を調べます。

$\lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{6-3^x}{4^x-8}$

$x \to \frac{3}{2}^+$ のとき、$4^x - 8 > 0$ かつ $6 - 3^x < 0$ なので、$\lim_{x \to \frac{3}{2}^+} \frac{6-3^x}{4^x-8} = -\infty$

$x \to \frac{3}{2}^-$ のとき、$4^x - 8 < 0$ かつ $6 - 3^x > 0$ なので、$\lim_{x \to \frac{3}{2}^-} \frac{6-3^x}{4^x-8} = -\infty$

したがって、$x = \frac{3}{2}$ は垂直漸近線です。

次に、水平漸近線を調べます。

$x \to \infty$ および $x \to -\infty$ のときの $y$ の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6-3^x}{4^x-8} = \lim_{x \to \infty} \frac{3^x(\frac{6}{3^x}-1)}{4^x(1-\frac{8}{4^x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{3^x}{4^x} \cdot \frac{\frac{6}{3^x}-1}{1-\frac{8}{4^x}} = \lim_{x \to \infty} (\frac{3}{4})^x \cdot \frac{\frac{6}{3^x}-1}{1-\frac{8}{4^x}} = 0 \cdot \frac{-1}{1} = 0$

したがって、$y = 0$ は水平漸近線です。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{6-3^x}{4^x-8} = \frac{6-0}{0-8} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$

したがって、$y = -\frac{3}{4}$ は水平漸近線です。

3. 最終的な答え

垂直漸近線: $x = \frac{3}{2}$

水平漸近線: $y = 0$, $y = -\frac{3}{4}$