与えられた積分 $\int \frac{\tan x}{\cos x} dx$ を、$t = \cos x$ という変数変換を用いて計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\tan x}{\cos x} dx$ を、$t = \cos x$ という変数変換を用いて計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、積分を書き換えます。

$\int \frac{\tan x}{\cos x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

次に、$t = \cos x$ と置くと、$\frac{dt}{dx} = -\sin x$ より $dt = -\sin x dx$ となります。したがって、$\sin x dx = -dt$ となります。

これを用いて、積分を $t$ の関数として表します。

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-dt}{t^2} = -\int t^{-2} dt$

$t^{-2}$ の積分を計算します。

$\int t^{-2} dt = \frac{t^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{t} + C$

したがって、

$-\int t^{-2} dt = - \left( -\frac{1}{t} \right) + C = \frac{1}{t} + C$

最後に、$t = \cos x$ を代入して、元の変数 $x$ で表現します。

$\frac{1}{t} + C = \frac{1}{\cos x} + C = \sec x + C$

3. 最終的な答え

$\sec x + C$