次の微分方程式を初期条件のもとで解きます。 (1) $y' = \sqrt{x}$, 初期条件: $x = 5, y = 5\sqrt{5}$ (2) $y' = e^{2x}$, 初期条件: $x = 0, y = 1$

1. 問題の内容

次の微分方程式を初期条件のもとで解きます。

(1) $y' = \sqrt{x}$, 初期条件: $x = 5, y = 5\sqrt{5}$

(2) $y' = e^{2x}$, 初期条件: $x = 0, y = 1$

2. 解き方の手順

(1) $y' = \sqrt{x}$ を解く。

まず、$y' = \frac{dy}{dx} = \sqrt{x}$ より、$dy = \sqrt{x} dx$。

両辺を積分すると、

$\int dy = \int \sqrt{x} dx$

$y = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

ここで、$x=5, y=5\sqrt{5}$ を代入して、$C$を求めます。

$5\sqrt{5} = \frac{2}{3} (5)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} (5\sqrt{5}) + C$

$C = 5\sqrt{5} - \frac{2}{3} (5\sqrt{5}) = \frac{1}{3}(5\sqrt{5}) = \frac{5\sqrt{5}}{3}$

したがって、$y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{5\sqrt{5}}{3}$

(2) $y' = e^{2x}$ を解く。

$y' = \frac{dy}{dx} = e^{2x}$ より、$dy = e^{2x} dx$。

両辺を積分すると、

$\int dy = \int e^{2x} dx$

$y = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

ここで、$x=0, y=1$ を代入して、$C$を求めます。

$1 = \frac{1}{2} e^{2(0)} + C = \frac{1}{2}e^0 + C = \frac{1}{2} + C$

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、$y = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{5\sqrt{5}}{3}$

(2) $y = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}$