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次の方程式または不等式を $-\pi < \theta \le \pi$ の範囲で解きます。 (1) $2\sin{2\theta} - 1 = 0$ (2) $2\cos{\theta} - \sqrt{3} < 0$ (3) $-\sqrt{3} < \tan{\theta} \le 1$ (4) $\cos{2\theta} = 5\cos{\theta} - 3$

解析学三角関数方程式不等式三角関数の解
2025/5/31

1. 問題の内容

次の方程式または不等式を −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi の範囲で解きます。
(1) 2sin⁡2θ−1=02\sin{2\theta} - 1 = 0
(2) 2cos⁡θ−3<02\cos{\theta} - \sqrt{3} < 0
(3) −3<tan⁡θ≤1-\sqrt{3} < \tan{\theta} \le 1
(4) cos⁡2θ=5cos⁡θ−3\cos{2\theta} = 5\cos{\theta} - 3

2. 解き方の手順

(1) 2sin⁡2θ−1=02\sin{2\theta} - 1 = 0
sin⁡2θ=12\sin{2\theta} = \frac{1}{2}
2θ2\theta の範囲は −2π<2θ≤2π-2\pi < 2\theta \le 2\pi である。
sin⁡x=12\sin{x} = \frac{1}{2} を満たす xx は、
x=π6,5π6,13π6,−7π6,−11π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{-7\pi}{6}, \frac{-11\pi}{6}
したがって、
2θ=π6,5π6,13π6,−7π6,−11π62\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{-7\pi}{6}, \frac{-11\pi}{6}
θ=π12,5π12,13π12,−7π12,−11π12\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{-7\pi}{12}, \frac{-11\pi}{12}
(2) 2cos⁡θ−3<02\cos{\theta} - \sqrt{3} < 0
2cos⁡θ<32\cos{\theta} < \sqrt{3}
cos⁡θ<32\cos{\theta} < \frac{\sqrt{3}}{2}
−π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi の範囲で cos⁡θ=32\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2} を満たす θ\theta は θ=π6,−π6\theta = \frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}
よって、−π<θ<−π6,π6<θ≤π-\pi < \theta < -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6} < \theta \le \pi
(3) −3<tan⁡θ≤1-\sqrt{3} < \tan{\theta} \le 1
−π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi の範囲で tan⁡θ=−3\tan{\theta} = -\sqrt{3} を満たす θ\theta は θ=−π3,2π3\theta = -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}
tan⁡θ=1\tan{\theta} = 1 を満たす θ\theta は θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}
tan⁡θ\tan{\theta} は θ=−π2,π2\theta = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} で定義されない
したがって、−π3<θ<π2,−π2<θ≤π4-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{\pi}{4}
(4) cos⁡2θ=5cos⁡θ−3\cos{2\theta} = 5\cos{\theta} - 3
cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta} - 1 より、
2cos⁡2θ−1=5cos⁡θ−32\cos^2{\theta} - 1 = 5\cos{\theta} - 3
2cos⁡2θ−5cos⁡θ+2=02\cos^2{\theta} - 5\cos{\theta} + 2 = 0
(2cos⁡θ−1)(cos⁡θ−2)=0(2\cos{\theta} - 1)(\cos{\theta} - 2) = 0
cos⁡θ=12,2\cos{\theta} = \frac{1}{2}, 2
−1≤cos⁡θ≤1-1 \le \cos{\theta} \le 1 より、cos⁡θ=2\cos{\theta} = 2 は不適
cos⁡θ=12\cos{\theta} = \frac{1}{2} を満たす θ\theta は、θ=π3,−π3\theta = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}

3. 最終的な答え

(1) θ=π12,5π12,13π12,−7π12,−11π12\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}, -\frac{11\pi}{12}
(2) −π<θ<−π6,π6<θ≤π-\pi < \theta < -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6} < \theta \le \pi
(3) −π3<θ<−π2,−π2<θ≤π4-\frac{\pi}{3} < \theta < -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{\pi}{4}
(4) θ=π3,−π3\theta = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}

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