与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 1$ (2) $f(x) = \arctan(x^2 - 1)$ (i) $f'(x) = 0$ の解を求める。 (ii) $f''(x)$ を求める。 (iii) $f(x)$ の極値を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 1$

(2) $f(x) = \arctan(x^2 - 1)$

(i) $f'(x) = 0$ の解を求める。

(ii) $f''(x)$ を求める。

(iii) $f(x)$ の極値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 1$ について

(i) まず、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^3 - 12x^2 - 24x = 0$

$12x(x^2 - x - 2) = 0$

$12x(x - 2)(x + 1) = 0$

よって、$x = 0, 2, -1$

(ii) $f''(x)$ を求めます。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x$

$f''(x) = 36x^2 - 24x - 24$

(iii) $f(x)$ の極値を求めます。$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を用いて、$f''(x)$ の符号を調べます。

$x = -1$ のとき、$f''(-1) = 36(-1)^2 - 24(-1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36 > 0$ なので、$x = -1$ で極小値をとります。極小値は、$f(-1) = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 + 1 = 3 + 4 - 12 + 1 = -4$

$x = 0$ のとき、$f''(0) = 36(0)^2 - 24(0) - 24 = -24 < 0$ なので、$x = 0$ で極大値をとります。極大値は、$f(0) = 3(0)^4 - 4(0)^3 - 12(0)^2 + 1 = 1$

$x = 2$ のとき、$f''(2) = 36(2)^2 - 24(2) - 24 = 144 - 48 - 24 = 72 > 0$ なので、$x = 2$ で極小値をとります。極小値は、$f(2) = 3(2)^4 - 4(2)^3 - 12(2)^2 + 1 = 48 - 32 - 48 + 1 = -31$

(2) $f(x) = \arctan(x^2 - 1)$ について

(i) $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2 - 1)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + (x^2 - 1)^2} = \frac{2x}{1 + x^4 - 2x^2 + 1} = \frac{2x}{x^4 - 2x^2 + 2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{2x}{x^4 - 2x^2 + 2} = 0$

$2x = 0$

よって、$x = 0$

(ii) $f''(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{2x}{x^4 - 2x^2 + 2}$

$f''(x) = \frac{2(x^4 - 2x^2 + 2) - 2x(4x^3 - 4x)}{(x^4 - 2x^2 + 2)^2} = \frac{2x^4 - 4x^2 + 4 - 8x^4 + 8x^2}{(x^4 - 2x^2 + 2)^2} = \frac{-6x^4 + 4x^2 + 4}{(x^4 - 2x^2 + 2)^2}$

(iii) $f(x)$ の極値を求めます。$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を用いて、$f''(x)$ の符号を調べます。

$x = 0$ のとき、$f''(0) = \frac{-6(0)^4 + 4(0)^2 + 4}{(0^4 - 2(0)^2 + 2)^2} = \frac{4}{4} = 1 > 0$ なので、$x = 0$ で極小値をとります。極小値は、$f(0) = \arctan(0^2 - 1) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 1$ について

(i) $f'(x) = 0$ の解: $x = -1, 0, 2$

(ii) $f''(x) = 36x^2 - 24x - 24$

(iii) 極大値: $f(0) = 1$, 極小値: $f(-1) = -4$, $f(2) = -31$

(2) $f(x) = \arctan(x^2 - 1)$ について

(i) $f'(x) = 0$ の解: $x = 0$

(ii) $f''(x) = \frac{-6x^4 + 4x^2 + 4}{(x^4 - 2x^2 + 2)^2}$

(iii) 極小値: $f(0) = -\frac{\pi}{4}$