問題は2つあります。 1つ目の問題は、与えられた関数のグラフの概形を描き、指定された点における接線の方程式を求める問題です。 2つ目の問題は、与えられた関数の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、与えられた関数のグラフの概形を描き、指定された点における接線の方程式を求める問題です。

2つ目の問題は、与えられた関数の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

ここでは、問題2の(1)から(8)までの導関数を求める手順を説明します。

(1) $y = 3x + 4$

$y' = 3$

(2) $y = x^2 + 5x + 7$

$y' = 2x + 5$

(3) $y = (x^2 - x + 4)(x^2 + x + 1)$

積の微分法を用います。 $y' = (x^2 - x + 4)'(x^2 + x + 1) + (x^2 - x + 4)(x^2 + x + 1)'$

$y' = (2x - 1)(x^2 + x + 1) + (x^2 - x + 4)(2x + 1)$

$y' = (2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1) + (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 8x + 4)$

$y' = 4x^3 + x^2 + 8x + 3$

(4) $y = 2 + x^{-1} + x^{-2}$

$y' = -x^{-2} - 2x^{-3}$

$y' = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

(5) $y = \frac{x-1}{x+1}$

商の微分法を用います。 $y' = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{1(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{2}{(x+1)^2}$

(6) $y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x - 1}$

商の微分法を用います。 $y' = \frac{(x^2 + x + 1)'(x^2 - x - 1) - (x^2 + x + 1)(x^2 - x - 1)'}{(x^2 - x - 1)^2}$

$y' = \frac{(2x + 1)(x^2 - x - 1) - (x^2 + x + 1)(2x - 1)}{(x^2 - x - 1)^2}$

$y' = \frac{(2x^3 - 2x^2 - 2x + x^2 - x - 1) - (2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1)}{(x^2 - x - 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - x^2 - 3x - 1 - 2x^3 - x^2 - x + 1}{(x^2 - x - 1)^2}$

$y' = \frac{-2x^2 - 4x}{(x^2 - x - 1)^2}$

$y' = \frac{-2x(x + 2)}{(x^2 - x - 1)^2}$

(7) $y = \frac{x^2 + 5}{x^3 + x^2 + 3}$

商の微分法を用います。 $y' = \frac{(x^2 + 5)'(x^3 + x^2 + 3) - (x^2 + 5)(x^3 + x^2 + 3)'}{(x^3 + x^2 + 3)^2}$

$y' = \frac{(2x)(x^3 + x^2 + 3) - (x^2 + 5)(3x^2 + 2x)}{(x^3 + x^2 + 3)^2}$

$y' = \frac{(2x^4 + 2x^3 + 6x) - (3x^4 + 2x^3 + 15x^2 + 10x)}{(x^3 + x^2 + 3)^2}$

$y' = \frac{-x^4 - 15x^2 - 4x}{(x^3 + x^2 + 3)^2}$

(8) $y = \frac{1+\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}}$

$y = \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x^2+1}{x^2}} = \frac{(x+1)x^2}{x(x^2+1)} = \frac{x(x+1)}{x^2+1} = \frac{x^2+x}{x^2+1}$

商の微分法を用います。 $y' = \frac{(x^2 + x)'(x^2 + 1) - (x^2 + x)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = \frac{(2x + 1)(x^2 + 1) - (x^2 + x)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 + 2x + x^2 + 1 - 2x^3 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3$

(2) $y' = 2x + 5$

(3) $y' = 4x^3 + x^2 + 8x + 3$

(4) $y' = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

(5) $y' = \frac{2}{(x+1)^2}$

(6) $y' = \frac{-2x(x + 2)}{(x^2 - x - 1)^2}$

(7) $y' = \frac{-x^4 - 15x^2 - 4x}{(x^3 + x^2 + 3)^2}$

(8) $y' = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$