問題は、与えられた下線部の定義を集合の記号や論理記号を用いて記述することです。具体的には、以下の定義を記述します。 (1) 写像 (2) 像 (3) 逆像 (4) 全射 (5) 単射 (6) 有界列、収束列

1. 問題の内容

問題は、与えられた下線部の定義を集合の記号や論理記号を用いて記述することです。具体的には、以下の定義を記述します。

(1) 写像

(2) 像

(3) 逆像

(4) 全射

(5) 単射

(6) 有界列、収束列

2. 解き方の手順

各定義を集合の記号と論理記号を用いて記述します。

(1) 写像：$f: X \rightarrow Y$ が $X$ から $Y$ への写像であるとは、$X$ の各要素 $x$ に対して、$Y$ の要素 $f(x)$ がただ一つ対応すること。

すなわち、

$f: X \rightarrow Y$ is a mapping $\iff$ $\forall x \in X, \exists! y \in Y \text{ such that } y = f(x)$.

(2) 像：$A \subseteq X$ の $f$ による像 $f(A)$ は、$f(A) = \{y \in Y \mid \exists x \in A \text{ such that } y = f(x)\}$

(3) 逆像：$B \subseteq Y$ の $f$ による逆像 $f^{-1}(B)$ は、$f^{-1}(B) = \{x \in X \mid f(x) \in B\}$

(4) 全射：写像 $f: X \rightarrow Y$ が全射であるとは、$Y$ の任意の要素 $y$ に対して、$f(x) = y$ となる $X$ の要素 $x$ が少なくとも一つ存在すること。

すなわち、

$f: X \rightarrow Y$ is surjective $\iff$ $\forall y \in Y, \exists x \in X \text{ such that } f(x) = y$.

(5) 単射：写像 $f: X \rightarrow Y$ が単射であるとは、$X$ の異なる任意の2つの要素 $x_1$ と $x_2$ に対して、$f(x_1) \neq f(x_2)$ が成り立つこと。

すなわち、

$f: X \rightarrow Y$ is injective $\iff$ $\forall x_1, x_2 \in X, (x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2))$.

もしくは、$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.

(6) 有界列：数列 $\{a_n\}$ が有界列であるとは、ある実数 $M > 0$ が存在して、すべての $n$ に対して $|a_n| \leq M$ が成り立つこと。

すなわち、

$\{a_n\}$ is bounded $\iff$ $\exists M > 0 \text{ such that } \forall n, |a_n| \leq M$.

収束列：数列 $\{a_n\}$ が収束列であるとは、ある実数 $a$ が存在して、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$n > N$ ならば $|a_n - a| < \epsilon$ が成り立つこと。

すなわち、

$\{a_n\}$ converges to $a$ $\iff$ $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ such that } \forall n > N, |a_n - a| < \epsilon$.

3. 最終的な答え

(1) 写像：$f: X \rightarrow Y$ is a mapping $\iff$ $\forall x \in X, \exists! y \in Y \text{ such that } y = f(x)$.

(2) 像：$f(A) = \{y \in Y \mid \exists x \in A \text{ such that } y = f(x)\}$

(3) 逆像：$f^{-1}(B) = \{x \in X \mid f(x) \in B\}$

(4) 全射：$f: X \rightarrow Y$ is surjective $\iff$ $\forall y \in Y, \exists x \in X \text{ such that } f(x) = y$.

(5) 単射：$f: X \rightarrow Y$ is injective $\iff$ $\forall x_1, x_2 \in X, (x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2))$.

(6) 有界列：$\{a_n\}$ is bounded $\iff$ $\exists M > 0 \text{ such that } \forall n, |a_n| \leq M$.

収束列：$\{a_n\}$ converges to $a$ $\iff$ $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ such that } \forall n > N, |a_n - a| < \epsilon$.