与えられた積分 $\int (2x+1)(x^2+x-5) dx$ を、$t = x^2 + x - 5$ と置換して計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (2x+1)(x^2+x-5) dx$ を、$t = x^2 + x - 5$ と置換して計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。

まず、$t = x^2 + x - 5$ と置くので、両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{dt}{dx} = 2x + 1$

となります。

したがって、$dt = (2x + 1)dx$ となります。

これを与えられた積分に代入すると、

$\int (2x+1)(x^2+x-5) dx = \int (x^2+x-5) (2x+1) dx = \int t dt$

となります。

$\int t dt = \frac{1}{2}t^2 + C$ (Cは積分定数)

ここで、$t = x^2 + x - 5$ を代入すると、

$\frac{1}{2}t^2 + C = \frac{1}{2}(x^2+x-5)^2 + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}(x^2+x-5)^2 + C$