与えられた3つの関数について、漸近線を極限の計算を用いて求める問題です。 (1) $y = 3^{x-2} - 1$ (2) $y = \frac{2x+1}{x-2}$ (3) $y = \frac{2x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、漸近線を極限の計算を用いて求める問題です。

(1) $y = 3^{x-2} - 1$

(2) $y = \frac{2x+1}{x-2}$

(3) $y = \frac{2x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3^{x-2} - 1$

指数関数なので、水平漸近線を考えます。$x \to -\infty$のとき、$3^{x-2} \to 0$なので、

$y \to 0 - 1 = -1$となります。

また、$x \to \infty$のとき、$y \to \infty$となります。

よって、水平漸近線は$y = -1$です。

垂直漸近線はありません。

(2) $y = \frac{2x+1}{x-2}$

垂直漸近線は、分母が0になるところなので、$x-2=0$より、$x=2$です。

水平漸近線を求めるために、極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{2}{1} = 2$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{x-2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{2}{1} = 2$

よって、水平漸近線は$y = 2$です。

(3) $y = \frac{2x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4}$

分母が$x^2 + 4$なので、分母が0になる実数解はありません。したがって、垂直漸近線はありません。

水平漸近線を求めるために、極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{2}{1} = 2$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{2}{1} = 2$

よって、水平漸近線は$y = 2$です。

3. 最終的な答え

(1) 漸近線: $y = -1$

(2) 漸近線: $x = 2$, $y = 2$

(3) 漸近線: $y = 2$