与えられた3つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} \frac{2-3x^2}{x^2+2x}$ (2) $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2-5x+2}{x^3+1}$ (3) $\lim_{x\to\infty} \frac{3^x - x + 1}{2^x + x^{100}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{2-3x^2}{x^2+2x}$

(2) $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2-5x+2}{x^3+1}$

(3) $\lim_{x\to\infty} \frac{3^x - x + 1}{2^x + x^{100}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子を$x^2$で割ります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{2-3x^2}{x^2+2x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2}{x^2}-3}{1+\frac{2}{x}}$

$x\to\infty$のとき、$\frac{2}{x^2} \to 0$ と $\frac{2}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2}{x^2}-3}{1+\frac{2}{x}} = \frac{0-3}{1+0} = -3$

(2) 分母と分子を$x^3$で割ります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2-5x+2}{x^3+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{1+\frac{1}{x^3}}$

$x\to\infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$, $\frac{5}{x^2} \to 0$, $\frac{2}{x^3} \to 0$, $\frac{1}{x^3} \to 0$なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{1+\frac{1}{x^3}} = \frac{0-0+0}{1+0} = 0$

(3) 分母と分子を$3^x$で割ります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{3^x - x + 1}{2^x + x^{100}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac{x}{3^x} + \frac{1}{3^x}}{(\frac{2}{3})^x + \frac{x^{100}}{3^x}}$

$x\to\infty$のとき、$\frac{x}{3^x} \to 0$, $\frac{1}{3^x} \to 0$, $(\frac{2}{3})^x \to 0$, $\frac{x^{100}}{3^x} \to 0$なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac{x}{3^x} + \frac{1}{3^x}}{(\frac{2}{3})^x + \frac{x^{100}}{3^x}} = \frac{1-0+0}{0+0}$。 この形では極限を決定できません。

分子と分母を$x^{100}$で割ると

$\lim_{x\to\infty} \frac{3^x - x + 1}{2^x + x^{100}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{3^x}{x^{100}} - \frac{x}{x^{100}} + \frac{1}{x^{100}}}{\frac{2^x}{x^{100}} + 1} = \frac{\infty}{1} = \infty$

3. 最終的な答え

(1) -3

(2) 0

(3) $\infty$