与えられた積分 $\int x\sqrt{x^2 + 4} \, dx$ を、$t = x^2 + 4$ という変数変換を用いて解きます。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x\sqrt{x^2 + 4} \, dx$ を、$t = x^2 + 4$ という変数変換を用いて解きます。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 + 4$ と置換します。この両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{dt}{dx} = 2x$

となります。これから、$dx$ は $dt$ を用いて

$dx = \frac{dt}{2x}$

と表せます。

与えられた積分にこれらの関係式を代入すると、

$\int x\sqrt{x^2 + 4} \, dx = \int x\sqrt{t} \, \frac{dt}{2x} = \int \frac{1}{2}\sqrt{t} \, dt$

となります。

次に、$\int \frac{1}{2}\sqrt{t} \, dt$ を計算します。$\sqrt{t} = t^{1/2}$ であることに注意すると、

$\int \frac{1}{2}t^{1/2} \, dt = \frac{1}{2} \int t^{1/2} \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

最後に、$t = x^2 + 4$ を代入して、$x$ の関数として表すと、

$\frac{1}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}(x^2+4)^{3/2} + C$