問題は2つのパートに分かれています。 パート1は、与えられた関数のグラフの概形を描き、指定された点における接線の方程式を求める問題です。関数は全部で5つあります。 (1) $y = 2x + 1$ (任意の点) (2) $y = x^2 + 5x$ ($x = -3$) (3) $y = x^3 - x + 1$ ($x = 1$) (4) $y = \frac{2x}{x+1}$ ($x = 1$) (5) $y = \sqrt{x}$ ($x = 2$) パート2は、与えられた関数の導関数を求める問題です。関数は全部で8つあります。 (1) $3x+4$ (2) $x^2+5x+7$ (3) $(x^2 - x + 4)(x^2+x+1)$ (4) $2+x^{-1}+x^{-2}$ (5) $\frac{x-1}{x+1}$ (6) $\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}$ (7) $\frac{x^2+5}{x^3+x^2+3}$ (8) $\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1は、与えられた関数のグラフの概形を描き、指定された点における接線の方程式を求める問題です。関数は全部で5つあります。

(1) $y = 2x + 1$ (任意の点)

(2) $y = x^2 + 5x$ ($x = -3$)

(3) $y = x^3 - x + 1$ ($x = 1$)

(4) $y = \frac{2x}{x+1}$ ($x = 1$)

(5) $y = \sqrt{x}$ ($x = 2$)

パート2は、与えられた関数の導関数を求める問題です。関数は全部で8つあります。

(1) $3x+4$

(2) $x^2+5x+7$

(3) $(x^2 - x + 4)(x^2+x+1)$

(4) $2+x^{-1}+x^{-2}$

(5) $\frac{x-1}{x+1}$

(6) $\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}$

(7) $\frac{x^2+5}{x^3+x^2+3}$

(8) $\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$

2. 解き方の手順

ここでは問題 1 の (2) と問題 2 の (5) の解き方を示します。

問題 1 (2)

関数は $y = x^2 + 5x$ で、$x = -3$ における接線を求めます。

まず、$x = -3$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = (-3)^2 + 5(-3) = 9 - 15 = -6$

したがって、接点は $(-3, -6)$ です。

次に、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 2x + 5$

$x = -3$ における導関数の値を求めます。

$y'(-3) = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1$

したがって、接線の傾きは $-1$ です。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されるので、これに代入すると、

$y - (-6) = -1(x - (-3))$

$y + 6 = -x - 3$

$y = -x - 9$

問題 2 (5)

関数は $y = \frac{x-1}{x+1}$ です。

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x-1$、$v = x+1$ とすると、$u' = 1$、$v' = 1$ です。

したがって、

$y' = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{2}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

問題 1 (2): $y = -x - 9$

問題 2 (5): $y' = \frac{2}{(x+1)^2}$