与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、部分分数分解を利用して解くことができます。

ステップ1: 部分分数分解

$\frac{1}{n(n+2)}$ を部分分数に分解します。つまり、以下の式を満たす定数AとBを見つけます。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$

両辺に $n(n+2)$ をかけると、

$1 = A(n+2) + Bn$

$1 = (A+B)n + 2A$

この等式がすべてのnについて成り立つためには、

$A+B = 0$ かつ $2A = 1$ である必要があります。

したがって、$A = \frac{1}{2}$ であり、$B = -A = -\frac{1}{2}$ となります。

よって、

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$

ステップ2: 級数の書き出しと簡約化

級数を書き出して、項を簡約化します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$

$\frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots \right]$

ここで、多くの項が打ち消し合うことに気づきます。特に、$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ などが打ち消しあいます。

残るのは、最初の数項だけです。

ステップ3: 無限級数の計算

$N$ までの部分和を考えます。

$S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$

$S_N = \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+1}\right) + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+2}\right) \right]$

$S_N = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} \right]$

$N \to \infty$ とすると、$\frac{1}{N+1} \to 0$ および $\frac{1}{N+2} \to 0$ となるため、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$