次の4つの関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = \sqrt{2x + 1}$ (2) $y = x + \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$) (3) $y = x - \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$) (4) $y = \frac{x}{|x|}$ (ただし、$x \neq 0$)

1. 問題の内容

次の4つの関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = \sqrt{2x + 1}$

(2) $y = x + \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$)

(3) $y = x - \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$)

(4) $y = \frac{x}{|x|}$ (ただし、$x \neq 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{2x + 1}$ のグラフ

* 定義域は、$2x + 1 \geq 0$ より、$x \geq -\frac{1}{2}$ です。

* $y \geq 0$ です。

* $y^2 = 2x + 1$ と変形すると、$x = \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}$ となり、$y^2 = 2x + 1$は、$x$について解くと放物線になることがわかります。このグラフの$y \geq 0$の部分を描きます。

* 点$(-\frac{1}{2}, 0)$ を通ります。

(2) $y = x + \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$) のグラフ

* $x > 0$ のとき、$y > 0$ です。

* $x < 0$ のとき、$y < 0$ です。

* $x \rightarrow \infty$ のとき、$y \approx x$ となります。

* $x \rightarrow -\infty$ のとき、$y \approx x$ となります。

* $x \rightarrow +0$ のとき、$y \rightarrow \infty$ となります。

* $x \rightarrow -0$ のとき、$y \rightarrow -\infty$ となります。

* $y' = 1 - \frac{1}{x^2}$ であり、$y' = 0$ となるのは、$x = \pm 1$ のときです。

* $x = 1$ のとき、$y = 2$ (極小値)。

* $x = -1$ のとき、$y = -2$ (極大値)。

(3) $y = x - \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$) のグラフ

* $x > 0$ のとき、$x$が非常に小さい時$y<0$、$x$が非常に大きい時$y>0$。

* $x < 0$ のとき、$x$が非常に小さい時$y<0$、$x$が非常に大きい時$y>0$。

* $x \rightarrow \infty$ のとき、$y \approx x$ となります。

* $x \rightarrow -\infty$ のとき、$y \approx x$ となります。

* $x \rightarrow +0$ のとき、$y \rightarrow -\infty$ となります。

* $x \rightarrow -0$ のとき、$y \rightarrow \infty$ となります。

* $y' = 1 + \frac{1}{x^2} > 0$ より、常に増加関数です。

(4) $y = \frac{x}{|x|}$ (ただし、$x \neq 0$) のグラフ

* $x > 0$ のとき、$|x| = x$ より、$y = \frac{x}{x} = 1$ となります。

* $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ より、$y = \frac{x}{-x} = -1$ となります。

* したがって、$x > 0$ で $y = 1$、$x < 0$ で $y = -1$ となるグラフです。$x=0$では定義されません。

3. 最終的な答え

グラフの概形は以下の通りです。

(1) $y = \sqrt{2x + 1}$：$(-\frac{1}{2}, 0)$ から始まり、単調増加するグラフ。

(2) $y = x + \frac{1}{x}$：$x > 0$ で極小値 $(1, 2)$、$x < 0$ で極大値 $(-1, -2)$ を持つグラフ。漸近線は $y = x$ および $x = 0$。

(3) $y = x - \frac{1}{x}$：常に増加するグラフ。漸近線は $y = x$ および $x = 0$。

(4) $y = \frac{x}{|x|}$：$x > 0$ で $y = 1$、$x < 0$ で $y = -1$ となるグラフ。