定積分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分 $I$ を次のように定義します。

$$I = \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$$

次に、$x = \pi - u$ と置換します。$dx = -du$ であり、積分区間は $x: 0 \to \pi$ から $u: \pi \to 0$ に変わります。よって、

$$I = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - u)\sin(\pi - u)}{1 + \cos^2(\pi - u)} (-du) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - u)\sin(\pi - u)}{1 + \cos^2(\pi - u)} du$$

$\sin(\pi - u) = \sin u$ かつ $\cos(\pi - u) = -\cos u$ であるから、

$$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - u)\sin u}{1 + (-\cos u)^2} du = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$$

ここで、$u$ を $x$ に書き換えました。

したがって、

$$I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x - x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx - \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$$

$$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx - I$$

よって、

$$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$$

$$I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$$

ここで、$v = \cos x$ と置換します。$dv = -\sin x dx$ であり、積分区間は $x: 0 \to \pi$ から $v: 1 \to -1$ に変わります。

$$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{1}^{-1} \frac{-dv}{1 + v^2} = \int_{-1}^{1} \frac{dv}{1 + v^2} = [\arctan v]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$$

したがって、

$$I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{4}$