与えられた6つの関数が、偶関数、奇関数、またはどちらでもないかを判定する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数が、偶関数、奇関数、またはどちらでもないかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が偶関数であるとは、$f(-x) = f(x)$ が成り立つことです。

関数 $f(x)$ が奇関数であるとは、$f(-x) = -f(x)$ が成り立つことです。

どちらの条件も満たさない場合、その関数は偶関数でも奇関数でもありません。

(1) $y = \frac{x}{x^2 - 4}$

$f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}$ とすると、

$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x}{x^2 - 4} = - \frac{x}{x^2 - 4} = -f(x)$

したがって、奇関数です。

(2) $y = x \sin(2x)$

$f(x) = x \sin(2x)$ とすると、

$f(-x) = (-x) \sin(2(-x)) = (-x) \sin(-2x) = (-x)(-\sin(2x)) = x \sin(2x) = f(x)$

したがって、偶関数です。

(3) $y = |x^3 - 1| + 2$

$f(x) = |x^3 - 1| + 2$ とすると、

$f(-x) = |(-x)^3 - 1| + 2 = |-x^3 - 1| + 2 = |-(x^3 + 1)| + 2 = |x^3 + 1| + 2$

$f(1) = |1^3 - 1| + 2 = 2$

$f(-1) = |(-1)^3 + 1| + 2 = |-1 + 1| + 2 = 2$

$f(2) = |2^3 - 1| + 2 = |8 - 1| + 2 = 7 + 2 = 9$

$f(-2) = |(-2)^3 + 1| + 2 = |-8 + 1| + 2 = 7 + 2 = 9$

この関数は偶関数でも奇関数でもありません。

(4) $y = 3^{x^2} - 1$

$f(x) = 3^{x^2} - 1$ とすると、

$f(-x) = 3^{(-x)^2} - 1 = 3^{x^2} - 1 = f(x)$

したがって、偶関数です。

(5) $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$

$f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ とすると、

$f(-x) = \cos(-x - \frac{\pi}{4}) = \cos(-(x + \frac{\pi}{4})) = \cos(x + \frac{\pi}{4})$

これは、$f(x)$とも$-f(x)$とも一致しません。

したがって、どちらでもありません。

(6) $y = \frac{4^x + 4^{-x}}{4^x - 4^{-x}}$

$f(x) = \frac{4^x + 4^{-x}}{4^x - 4^{-x}}$ とすると、

$f(-x) = \frac{4^{-x} + 4^{-(-x)}}{4^{-x} - 4^{-(-x)}} = \frac{4^{-x} + 4^x}{4^{-x} - 4^x} = \frac{4^x + 4^{-x}}{-(4^x - 4^{-x})} = - \frac{4^x + 4^{-x}}{4^x - 4^{-x}} = -f(x)$

したがって、奇関数です。

3. 最終的な答え

(1) 奇関数

(2) 偶関数

(3) どちらでもない

(4) 偶関数

(5) どちらでもない

(6) 奇関数