関数 $f(x) = 8\sqrt{3} \cos^2 x + 6 \sin x \cos x + 2\sqrt{3} \sin^2 x$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表せ。 (2) $0 \le x \le \pi$ であるとき、関数 $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 8\sqrt{3} \cos^2 x + 6 \sin x \cos x + 2\sqrt{3} \sin^2 x$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表せ。

(2) $0 \le x \le \pi$ であるとき、関数 $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の倍角の公式、半角の公式を利用する。

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$f(x) = 8\sqrt{3} \cos^2 x + 6 \sin x \cos x + 2\sqrt{3} \sin^2 x$

$= 8\sqrt{3} \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + 3(2\sin x \cos x) + 2\sqrt{3} \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$

$= 4\sqrt{3}(1 + \cos 2x) + 3 \sin 2x + \sqrt{3}(1 - \cos 2x)$

$= 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \cos 2x + 3 \sin 2x + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cos 2x$

$= 3 \sin 2x + 3\sqrt{3} \cos 2x + 5\sqrt{3}$

(2)

$f(x) = 3 \sin 2x + 3\sqrt{3} \cos 2x + 5\sqrt{3}$

三角関数の合成を行う。

$f(x) = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} \sin(2x + \alpha) + 5\sqrt{3}$

$= \sqrt{9 + 27} \sin(2x + \alpha) + 5\sqrt{3}$

$= \sqrt{36} \sin(2x + \alpha) + 5\sqrt{3}$

$= 6 \sin(2x + \alpha) + 5\sqrt{3}$

ただし、$\cos \alpha = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{3}$.

よって $f(x) = 6 \sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 5\sqrt{3}$.

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le 2x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$.

$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値をとる。

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{12}$

$f(\frac{\pi}{12}) = 6 \sin \frac{\pi}{2} + 5\sqrt{3} = 6 + 5\sqrt{3}$ (最大値)

$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ のとき最小値をとる。

$2x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi - 2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

$x = \frac{7\pi}{12}$

$f(\frac{7\pi}{12}) = 6 \sin \frac{3\pi}{2} + 5\sqrt{3} = -6 + 5\sqrt{3}$ (最小値)

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3 \sin 2x + 3\sqrt{3} \cos 2x + 5\sqrt{3}$

(2) 最大値: $6 + 5\sqrt{3}$ ($x = \frac{\pi}{12}$ のとき)

最小値: $-6 + 5\sqrt{3}$ ($x = \frac{7\pi}{12}$ のとき)