微分方程式 $\frac{dy}{dx} = a - by$ を解く問題です。ここで、$a$ と $b$ は定数です。

1. 問題の内容

微分方程式 $\frac{dy}{dx} = a - by$ を解く問題です。ここで、$a$ と $b$ は定数です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離法で解くことができます。

ステップ1: 変数分離を行う

$y$に関する項を左辺に、$x$に関する項を右辺に集めます。

$\frac{dy}{a - by} = dx$

ステップ2: 両辺を積分する

左辺と右辺をそれぞれ積分します。

$\int \frac{dy}{a - by} = \int dx$

左辺の積分は、$u = a - by$ と置換すると、$du = -b dy$ となるため、$dy = -\frac{1}{b} du$ となります。したがって、

$\int \frac{dy}{a - by} = \int \frac{-\frac{1}{b} du}{u} = -\frac{1}{b} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{b} \ln|u| + C_1 = -\frac{1}{b} \ln|a - by| + C_1$

右辺の積分は、

$\int dx = x + C_2$

よって、

$-\frac{1}{b} \ln|a - by| = x + C$ （ここで、$C = C_2 - C_1$）

ステップ3: $y$について解く

$\ln|a - by| = -bx - bC$

$|a - by| = e^{-bx - bC} = e^{-bx} e^{-bC}$

$a - by = \pm e^{-bC} e^{-bx} = Ke^{-bx}$ （ここで、$K = \pm e^{-bC}$ は定数）

$by = a - Ke^{-bx}$

$y = \frac{a}{b} - \frac{K}{b}e^{-bx}$

$y = \frac{a}{b} + Ce^{-bx}$ （ここで、$C = -\frac{K}{b}$ は積分定数）

3. 最終的な答え

$y = \frac{a}{b} + Ce^{-bx}$ (Cは任意定数)