問題は、集合 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 1\}$ と $B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\}$ が与えられたとき、以下のものを求める問題です。 (1) $A \cap B$ の上界の集合 $U(A \cap B)$ (2) $A \cap B$ の上限 $\sup(A \cap B)$ (3) $A \cap B$ の下界の集合 $L(A \cap B)$ (4) $A \cap B$ の下限 $\inf(A \cap B)$

1. 問題の内容

問題は、集合 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 1\}$ と $B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\}$ が与えられたとき、以下のものを求める問題です。

(1) $A \cap B$ の上界の集合 $U(A \cap B)$

(2) $A \cap B$ の上限 $\sup(A \cap B)$

(3) $A \cap B$ の下界の集合 $L(A \cap B)$

(4) $A \cap B$ の下限 $\inf(A \cap B)$

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B$ を求めます。

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 1\} \cap \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\} = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \leq 1\}$ となります。

(1) $A \cap B = (0, 1]$ の上界の集合 $U(A \cap B)$ は、$x \geq 1$ となる $x$ の集合です。

したがって、$U(A \cap B) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1\}$ です。

(2) $A \cap B = (0, 1]$ の上限 $\sup(A \cap B)$ は、$A \cap B$ の最小の上界です。

$A \cap B$ の上界は1以上の実数なので、最小の上界は1です。

したがって、$\sup(A \cap B) = 1$ です。

(3) $A \cap B = (0, 1]$ の下界の集合 $L(A \cap B)$ は、$x \leq 0$ となる $x$ の集合です。

したがって、$L(A \cap B) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 0\}$ です。

(4) $A \cap B = (0, 1]$ の下限 $\inf(A \cap B)$ は、$A \cap B$ の最大の下界です。

$A \cap B$ の下界は0以下の実数なので、最大の下界は0です。

したがって、$\inf(A \cap B) = 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B$ の上界の集合 $U(A \cap B)$ は $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1\}$ で、選択肢1が正しいです。

(2) $A \cap B$ の上限 $\sup(A \cap B)$ は $1$ で、選択肢3が正しいです。

(3) $A \cap B$ の下界の集合 $L(A \cap B)$ は $\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 0\}$ で、選択肢4が正しいです。

(4) $A \cap B$ の下限 $\inf(A \cap B)$ は $0$ で、選択肢2が正しいです。