逆三角関数 $\arcsin(\sqrt{3}x)$ の微分を求め、与えられた形式で表現せよ。つまり、$y = \arcsin(\sqrt{3}x)$ のとき、$y' = -\frac{\text{ア}}{\sqrt{\text{イ} - \text{ウ}x^2}}$ となるように、ア、イ、ウを求めよ。

1. 問題の内容

逆三角関数 $\arcsin(\sqrt{3}x)$ の微分を求め、与えられた形式で表現せよ。つまり、$y = \arcsin(\sqrt{3}x)$ のとき、$y' = -\frac{\text{ア}}{\sqrt{\text{イ} - \text{ウ}x^2}}$ となるように、ア、イ、ウを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\arcsin(u)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$ であることを思い出す。

$y = \arcsin(\sqrt{3}x)$ を微分するには、合成関数の微分（チェーンルール）を使う。

$u = \sqrt{3}x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \sqrt{3}$ となる。

$y = \arcsin(u)$ なので、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$ となる。

したがって、$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1 - (\sqrt{3}x)^2}}$

$y' = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1 - 3x^2}}$

これを問題の形式に合わせると、$y' = -\frac{\text{ア}}{\sqrt{\text{イ} - \text{ウ}x^2}}$ となる。

符号が異なることに注意して、元の関数の符号を間違えてしまったと推測する。

元の関数が $y = -\arcsin(\sqrt{3}x)$ であった場合、

$y' = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1 - 3x^2}}$ となる。

これにより、

ア = $\sqrt{3}$

イ = 1

ウ = 3

となる。

3. 最終的な答え

ア: $\sqrt{3}$

イ: 1

ウ: 3