問題３について、(1) 関数 $g(x) = \frac{\ln x}{x}$ を微分せよ。 (2) $y = g(x) = \frac{\ln x}{x}$ のグラフ上の点 $(e^3, g(e^3))$ における接線の方程式を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題３について、(1) 関数 $g(x) = \frac{\ln x}{x}$ を微分せよ。

(2) $y = g(x) = \frac{\ln x}{x}$ のグラフ上の点 $(e^3, g(e^3))$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $g(x) = \frac{\ln x}{x}$ を微分する。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$u = \ln x$, $v = x$ とすると、$u' = \frac{1}{x}$, $v' = 1$ である。

したがって、

$$g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

(2) 点 $(e^3, g(e^3))$ における接線の方程式を求める。

まず、$g(e^3)$ を計算する。

$g(e^3) = \frac{\ln e^3}{e^3} = \frac{3}{e^3}$

次に、$g'(e^3)$ を計算する。これは接線の傾きを表す。

$g'(e^3) = \frac{1 - \ln e^3}{(e^3)^2} = \frac{1 - 3}{e^6} = \frac{-2}{e^6}$

したがって、接線の方程式は以下のようになる。

$y - \frac{3}{e^3} = \frac{-2}{e^6}(x - e^3)$

$y = \frac{-2}{e^6}x + \frac{2}{e^3} + \frac{3}{e^3}$

$y = \frac{-2}{e^6}x + \frac{5}{e^3}$

3. 最終的な答え

(1) $g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

(2) $y = \frac{-2}{e^6}x + \frac{5}{e^3}$