与えられた関数に対して、ライプニッツの公式を用いて第 $n$ 次導関数を求めよ。 (1) $x^3 e^{2x}$ (2) $x^2 \log(1+x)$ (3) $x^3 \sin(2x)$

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、ライプニッツの公式を用いて第 $n$ 次導関数を求めよ。

(1) $x^3 e^{2x}$

(2) $x^2 \log(1+x)$

(3) $x^3 \sin(2x)$

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式は、2つの関数の積の $n$ 次導関数を求めるために使用されます。

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$u^{(k)}$ は $u$ の $k$ 次導関数を表します。

(1) $f(x) = x^3 e^{2x}$ の場合

$u = x^3$、 $v = e^{2x}$ とします。

$u$ の導関数は次のようになります。

$u' = 3x^2$

$u'' = 6x$

$u''' = 6$

$u^{(k)} = 0$ （$k \ge 4$ の場合）

$v$ の導関数は次のようになります。

$v^{(k)} = 2^k e^{2x}$

ライプニッツの公式を適用すると、

$$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$$

$$f^{(n)}(x) = \binom{n}{0} u^{(n)} v^{(0)} + \binom{n}{1} u^{(n-1)} v^{(1)} + \binom{n}{2} u^{(n-2)} v^{(2)} + \binom{n}{3} u^{(n-3)} v^{(3)} + \dots$$

$u$ の4階以上の導関数は0であるため、4項までを考慮すれば十分です。

$$f^{(n)}(x) = \binom{n}{0} (x^3)^{(n)} e^{2x} + \binom{n}{1} (x^3)^{(n-1)} (2e^{2x}) + \binom{n}{2} (x^3)^{(n-2)} (2^2 e^{2x}) + \binom{n}{3} (x^3)^{(n-3)} (2^3 e^{2x})$$

$n>3$ のとき、$x^3$を$n$回微分すると、$0$になるので、注意します。

$n \le 3$のときは、上の式で、$n-k \le 3$となる範囲で足し合わせます。

$n>3$の場合

$f^{(n)}(x) = \binom{n}{n-1} (3x^2) (2^{n-1} e^{2x}) + \binom{n}{n-2} (6x) (2^{n-2} e^{2x}) + \binom{n}{n-3} (6) (2^{n-3} e^{2x})$

$f^{(n)}(x) = n (3x^2) (2^{n-1} e^{2x}) + \frac{n(n-1)}{2} (6x) (2^{n-2} e^{2x}) + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} (6) (2^{n-3} e^{2x})$

$f^{(n)}(x) = e^{2x} 2^{n-3} [12n x^2 + 6n(n-1) x + n(n-1)(n-2)]$

$f^{(n)}(x) = 2^{n-3} e^{2x} [n(n-1)(n-2) + 6n(n-1)x + 12nx^2 ]$

(2) $f(x) = x^2 \log(1+x)$ の場合

$u = x^2$、 $v = \log(1+x)$ とします。

$u' = 2x$

$u'' = 2$

$u^{(k)} = 0$ （$k \ge 3$ の場合）

$v' = \frac{1}{1+x}$

$v'' = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$v''' = \frac{2}{(1+x)^3}$

$v^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$

ライプニッツの公式を適用すると、

$$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$$

$$f^{(n)}(x) = \binom{n}{0} (x^2)^{(n)} \log(1+x) + \binom{n}{1} (x^2)^{(n-1)} \frac{1}{1+x} + \binom{n}{2} (x^2)^{(n-2)} (-\frac{1}{(1+x)^2}) + \dots$$

$f^{(n)}(x) = \binom{n}{n} x^2 (\log(1+x))^{(n)} + \binom{n}{n-1} 2x (\log(1+x))^{(n-1)} + \binom{n}{n-2} 2 (\log(1+x))^{(n-2)}$

$f^{(n)}(x) = x^2 v^{(n)} + n (2x) v^{(n-1)} + \frac{n(n-1)}{2} (2) v^{(n-2)}$

$f^{(n)}(x) = x^2 (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n} + 2nx (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(1+x)^{n-1}} + n(n-1) (-1)^{n-3} \frac{(n-3)!}{(1+x)^{n-2}}$

(3) $f(x) = x^3 \sin(2x)$ の場合

$u = x^3$、 $v = \sin(2x)$ とします。

$u' = 3x^2$

$u'' = 6x$

$u''' = 6$

$u^{(k)} = 0$ （$k \ge 4$ の場合）

$v^{(k)} = 2^k \sin(2x + \frac{k\pi}{2})$

ライプニッツの公式を適用すると、

$$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$$

$f^{(n)}(x) = \binom{n}{n} x^3 (\sin(2x))^{(n)} + \binom{n}{n-1} 3x^2 (\sin(2x))^{(n-1)} + \binom{n}{n-2} 6x (\sin(2x))^{(n-2)} + \binom{n}{n-3} 6 (\sin(2x))^{(n-3)}$

$f^{(n)}(x) = x^3 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2}) + 3nx^2 2^{n-1} \sin(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)}{2} 6x 2^{n-2} \sin(2x + \frac{(n-2)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 6 2^{n-3} \sin(2x + \frac{(n-3)\pi}{2})$

$f^{(n)}(x) = 2^{n-3} [8x^3 \sin(2x + \frac{n\pi}{2}) + 12nx^2 \sin(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + 6n(n-1)x \sin(2x + \frac{(n-2)\pi}{2}) + n(n-1)(n-2) \sin(2x + \frac{(n-3)\pi}{2})]$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = 2^{n-3} e^{2x} [n(n-1)(n-2) + 6n(n-1)x + 12nx^2 ]$

(2) $f^{(n)}(x) = x^2 (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n} + 2nx (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(1+x)^{n-1}} + n(n-1) (-1)^{n-3} \frac{(n-3)!}{(1+x)^{n-2}}$

(3) $f^{(n)}(x) = 2^{n-3} [8x^3 \sin(2x + \frac{n\pi}{2}) + 12nx^2 \sin(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + 6n(n-1)x \sin(2x + \frac{(n-2)\pi}{2}) + n(n-1)(n-2) \sin(2x + \frac{(n-3)\pi}{2})]$