## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の関数の第n次導関数を求める問題です。

(1) $y = \sin(x+2)$

(4) $y = \frac{1}{1-x}$

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2. 解き方の手順

**(1) $y = \sin(x+2)$ の第n次導関数**

sin関数の導関数は周期的に変化します。

$y = \sin(x+2)$

$y' = \cos(x+2)$

$y'' = -\sin(x+2)$

$y''' = -\cos(x+2)$

$y'''' = \sin(x+2)$

このパターンから、第n次導関数は次のように表せます。

$y^{(n)} = \sin(x+2 + n \cdot \frac{\pi}{2})$

これは、$y^{(n)} = \cos(x+2 + (n-1) \cdot \frac{\pi}{2})$ とも表すことができます。

**(4) $y = \frac{1}{1-x}$ の第n次導関数**

$y = (1-x)^{-1}$

$y' = (-1)(1-x)^{-2}(-1) = (1-x)^{-2}$

$y'' = (-2)(1-x)^{-3}(-1) = 2(1-x)^{-3}$

$y''' = 2(-3)(1-x)^{-4}(-1) = 2 \cdot 3 (1-x)^{-4}$

$y'''' = 2 \cdot 3 (-4)(1-x)^{-5}(-1) = 2 \cdot 3 \cdot 4 (1-x)^{-5}$

一般的に、

$y^{(n)} = n! (1-x)^{-(n+1)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

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3. 最終的な答え

**(1) $y = \sin(x+2)$**

$y^{(n)} = \sin(x+2 + n \frac{\pi}{2})$

または

$y^{(n)} = \cos(x+2 + (n-1) \frac{\pi}{2})$

**(4) $y = \frac{1}{1-x}$**

$y^{(n)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$