次の定積分の値を計算します。 $\int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 4) dx + \int_{1}^{0} (x^4 + 2x^2 + 4) dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を計算します。

$\int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 4) dx + \int_{1}^{0} (x^4 + 2x^2 + 4) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分区間が同じになるように変形します。$\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$を利用すると、

$\int_{1}^{0} (x^4 + 2x^2 + 4) dx = - \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 4) dx$

したがって、

$\int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 4) dx + \int_{1}^{0} (x^4 + 2x^2 + 4) dx = \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 4) dx - \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 4) dx = 0$

あるいは、

$\int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 4) dx + \int_{1}^{0} (x^4 + 2x^2 + 4) dx = \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 4) dx - \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 4) dx$

$= [\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + 4x]_0^1 + [\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + 4x]_1^0$

$= (\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 4) - (\frac{0}{5} + \frac{0}{3} + 0) + (\frac{0}{5} + \frac{0}{3} + 0) - (\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 4)$

$= (\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 4) - (\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 4) = 0$

3. 最終的な答え

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