問題1309の(8)の定積分を計算する問題です。 積分は $\int_{-1}^{1} (x + \frac{1}{2})^2 dx$ です。

1. 問題の内容

問題1309の(8)の定積分を計算する問題です。

積分は $\int_{-1}^{1} (x + \frac{1}{2})^2 dx$ です。

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算します。

まず、積分の中身を展開します。

$(x + \frac{1}{2})^2 = x^2 + x + \frac{1}{4}$

したがって、求める積分は次のようになります。

$\int_{-1}^{1} (x^2 + x + \frac{1}{4}) dx$

各項ごとに積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_{-1}^{1} = \frac{1}{3}(1^3 - (-1)^3) = \frac{1}{3}(1 - (-1)) = \frac{2}{3}$

$\int_{-1}^{1} x dx = [\frac{1}{2}x^2]_{-1}^{1} = \frac{1}{2}(1^2 - (-1)^2) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0$

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{4} dx = [\frac{1}{4}x]_{-1}^{1} = \frac{1}{4}(1 - (-1)) = \frac{1}{4}(2) = \frac{1}{2}$

したがって、積分の合計は次のようになります。

$\frac{2}{3} + 0 + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{6}$