次の定積分を計算します。 $\int_{-2}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{-2}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$ を計算します。これは逆三角関数を用いる標準的な積分です。

$x=4\sin\theta$ と置換すると、$dx = 4\cos\theta d\theta$ となります。

したがって、

$\int \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \int \frac{4\cos\theta}{\sqrt{16-16\sin^2\theta}} d\theta = \int \frac{4\cos\theta}{\sqrt{16(1-\sin^2\theta)}} d\theta = \int \frac{4\cos\theta}{4\cos\theta} d\theta = \int d\theta = \theta + C$

ここで、$\sin\theta = \frac{x}{4}$ より、$\theta = \arcsin\left(\frac{x}{4}\right)$ なので、

$\int \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{4}\right) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-2}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \left[ \arcsin\left(\frac{x}{4}\right) \right]_{-2}^{2\sqrt{2}} = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{4}\right) - \arcsin\left(\frac{-2}{4}\right) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$ であるから、

$\int_{-2}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi}{12}$