与えられた定積分の計算を行います。具体的には、$\int_{-2}^{4} 2x^2 dx + \int_{5}^{-2} 2x^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算を行います。具体的には、$\int_{-2}^{4} 2x^2 dx + \int_{5}^{-2} 2x^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int 2x^2 dx$ を計算します。

$\int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{2}{3}x^3 + C$

次に、それぞれの定積分を計算します。

$\int_{-2}^{4} 2x^2 dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_{-2}^{4} = \frac{2}{3}(4^3) - \frac{2}{3}(-2)^3 = \frac{2}{3}(64) - \frac{2}{3}(-8) = \frac{128}{3} + \frac{16}{3} = \frac{144}{3} = 48$

$\int_{5}^{-2} 2x^2 dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_{5}^{-2} = \frac{2}{3}(-2)^3 - \frac{2}{3}(5)^3 = \frac{2}{3}(-8) - \frac{2}{3}(125) = -\frac{16}{3} - \frac{250}{3} = -\frac{266}{3}$

最後に、これらの結果を足し合わせます。

$\int_{-2}^{4} 2x^2 dx + \int_{5}^{-2} 2x^2 dx = 48 - \frac{266}{3} = \frac{144}{3} - \frac{266}{3} = -\frac{122}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{122}{3}$