関数 $f(x)$ は $n$ 回微分可能である。このとき、$x^3f(x)$ の $n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は $n$ 回微分可能である。このとき、$x^3f(x)$ の $n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^3 f(x)$ の $n$ 次導関数を求めるには、ライプニッツの公式を利用する。ライプニッツの公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を求めるために使用される。

ライプニッツの公式は以下の通り。

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)}$$

ここで、

$u(x) = f(x)$, $v(x) = x^3$ とすると、それぞれの導関数は次のようになる。

$v(x) = x^3$

$v'(x) = 3x^2$

$v''(x) = 6x$

$v'''(x) = 6$

$v^{(4)}(x) = 0$

以降も $v^{(k)}(x) = 0$ for $k \geq 4$

したがって、$x^3 f(x)$ の $n$ 次導関数は次のようになる。

$$(x^3f(x))^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) (x^3)^{(k)}$$

上記の $v(x)$ の導関数の結果から、$k \geq 4$ の項はすべて0になるので、実際に和を取る必要があるのは $k = 0, 1, 2, 3$ の場合のみである。

したがって、

$$(x^3f(x))^{(n)} = \binom{n}{0}f^{(n)}(x)x^3 + \binom{n}{1}f^{(n-1)}(x)3x^2 + \binom{n}{2}f^{(n-2)}(x)6x + \binom{n}{3}f^{(n-3)}(x)6$$

ここで、二項係数 $\binom{n}{k}$ は $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ と表される。

したがって、

$$(x^3f(x))^{(n)} = x^3f^{(n)}(x) + 3n x^2 f^{(n-1)}(x) + 3n(n-1)x f^{(n-2)}(x) + n(n-1)(n-2)f^{(n-3)}(x)$$

3. 最終的な答え

$$x^3f^{(n)}(x) + 3nx^2f^{(n-1)}(x) + 3n(n-1)xf^{(n-2)}(x) + n(n-1)(n-2)f^{(n-3)}(x)$$