関数 $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ が $[0, 1]$ 上で連続であるとする。このとき、$f(c) = c$ となる $c \in [0, 1]$ が存在することを示せ。

1. 問題の内容

関数 $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ が $[0, 1]$ 上で連続であるとする。このとき、$f(c) = c$ となる $c \in [0, 1]$ が存在することを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 新しい関数 $g(x) = f(x) - x$ を定義する。関数 $f(x)$ は $[0, 1]$ 上で連続であるから、$g(x)$ も $[0, 1]$ 上で連続である。

(2) $x = 0$ と $x = 1$ のときの $g(x)$ の値を調べる。

$g(0) = f(0) - 0 = f(0)$.

$f(x)$ の定義域と値域は $[0, 1]$ であるから、$0 \leq f(0) \leq 1$ である。従って、$g(0) = f(0) \geq 0$ である。

$g(1) = f(1) - 1$.

同様に、$0 \leq f(1) \leq 1$ であるから、$g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ である。

(3) もし $g(0) = 0$ ならば、$f(0) = 0$ となり、$c = 0$ が $f(c) = c$ を満たす解となる。

同様に、もし $g(1) = 0$ ならば、$f(1) = 1$ となり、$c = 1$ が $f(c) = c$ を満たす解となる。

(4) $g(0) > 0$ かつ $g(1) < 0$ の場合を考える。$g(x)$ は $[0, 1]$ 上で連続であり、$g(0) > 0$ かつ $g(1) < 0$ であるから、中間値の定理より、$g(c) = 0$ となる $c \in (0, 1)$ が存在する。

すなわち、$f(c) - c = 0$ となる $c$ が存在する。

従って、$f(c) = c$ となる $c \in [0, 1]$ が存在する。

3. 最終的な答え

関数 $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ が $[0, 1]$ 上で連続であるとき、$f(c) = c$ となる $c \in [0, 1]$ が存在する。