与えられた4つの極限値を計算します。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 5^x}{3^x + 5^x}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \{ \log_2(4x^2 - x + 1) - \log_2(x^2 + 2) \}$ (3) $\lim_{x \to \infty} x(x - \sqrt{x^2 - 4})$ (4) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1})$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を計算します。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 5^x}{3^x + 5^x}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \{ \log_2(4x^2 - x + 1) - \log_2(x^2 + 2) \}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x(x - \sqrt{x^2 - 4})$

(4) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1})$

2. 解き方の手順

(1) 分母分子を$5^x$で割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 5^x}{3^x + 5^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(3/5)^x - 1}{(3/5)^x + 1}$

$x \to \infty$のとき$(3/5)^x \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{(3/5)^x - 1}{(3/5)^x + 1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$

(2) 対数の性質を利用すると、

$\lim_{x \to \infty} \{ \log_2(4x^2 - x + 1) - \log_2(x^2 + 2) \} = \lim_{x \to \infty} \log_2(\frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2})$

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{4-0+0}{1+0} = 4$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_2(\frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2}) = \log_2(4) = 2$

(3) $x(x - \sqrt{x^2 - 4})$の形を有理化する。

$x(x - \sqrt{x^2 - 4}) = x\frac{(x - \sqrt{x^2 - 4})(x + \sqrt{x^2 - 4})}{x + \sqrt{x^2 - 4}} = x\frac{x^2 - (x^2 - 4)}{x + \sqrt{x^2 - 4}} = \frac{4x}{x + \sqrt{x^2 - 4}}$

分母分子を$x$で割ると、

$\frac{4x}{x + \sqrt{x^2 - 4}} = \frac{4}{1 + \sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}}$

$x \to \infty$のとき$\frac{4}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4}{1 + \sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} = \frac{4}{1 + \sqrt{1 - 0}} = \frac{4}{1 + 1} = 2$

(4) $(\sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1})$の形を有理化する。

$\sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1} = \frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1})(\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1})}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}}$

$= \frac{(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}} = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}}$

分母分子を$x$で割ると、

$\frac{2x}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}$

$x \to \infty$のとき$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{2}{1 + 1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 2

(3) 2

(4) 1